Saturday 20 December 2014

Boundary of Words ​/ 12 Feburary 2009

Boundary of Words   ​

Topological Group Language Theory  
TANAKA Akio  
    
Preliminary Note 3  
Boundary of Words ​
[Theorem] ​
1 ​
Distance space     ( X , d) ​
Gromov product ( y | z ) x ​
2 ​
Hyperbolic space      X ​
point sequence     { x i  X } ​
Set of all the { x i  X }      S ∞ ( X ) ​
Point sequence of  X       { y i }     ​
When { y i } is lim i →∞ ( x i | y i ) = 0, { y i } is in  S ∞ ( X ). ​
[Explanation] ​
1 ​
Hyperbolicity for general distance space is defined by Gromov product. ​
Details are below. ​
2 ​
Distance space is defied by the next.  ​
Distance space that has basic point  x 0        ( X, d ) ​
Arbitrary 3 points of  X         x, y, z ​
When ( X, d ) satisfies the next, it is called  δ -hyperbolic. ​
( x | y ) x 0   min{( x | z)x 0 , ( y | z ) x 0 }- δ ​
When distance space ( X, d ) is  δ -hyperbolic for arbitrary base point,  X  is called  δ -hyperbolic. ​
Here for a certain   ,  δ -hyperbolic space is abbreviatedly called hyperbolic. ​
3 ​
The next condition is equivalent with what ( X, d ) is  δ -hyperbolic. ​
d ( x, y ) +  d ( z, w )    max{  d ( x, z ) +  d ( y, w ),  d ( x, w ) +  d ( y, z ) } +2 δ ​
4 ​
Distance space        X ​
Arc of X      α  : [0,  λ ] →  X ​
Arbitrary  s, t   [0,  λ ] ​
d ( α ( s ),  α (t)) = | s-t | ​
Arc  α  is called geodesic segment. ​
Geodesic segment from x to y that is x,y  X is expressed by   . ​
When arbitrary 2 points of distance space ( X , d) are combinable by geodesic segment,  X  is 
called geodesic space.  xyz  =     is called geodesic triangle. ​
[Impression] ​
1 ​
Word is identified with point sequence { x i  X }. ​
Language is identified with  S ∞ ( X ). ​
New generated word is identified Point sequence of  X , { y i } that has condition lim i →∞ ( x i | y i ) . ​
The new generated word is also in language, that is to say,  S ∞ ( X ). ​
2 ​
From the condition lim i →∞ ( x i | y i ), spherical surface is considered as boundary at infinity by 
the comparison with Poincaré model. ​
3 ​
Spherical surface is considered as the unit of language.  ​
Language's distance and warp is also considered under hyperbolic space. ​
References are below. ​
[References] ​
#1  Quantum Theorey for Language 
#2  Distance Theory 
#3  Warp Theory 
The upper papers and the related papers with the themes are seen at  Sekinan Linguistuic 
Field . ​
To be continued  
Tokyo February 12, 2009  
Sekinan Research Field of Language

No comments:

Post a Comment