Distance of Word / 30 November 2008

Complex Manifold Deformation Theory​

​

Conjecture A  

1 Distance of Word 

​

TANAKA Akio 

     

​

Conjecture 

Word has distance.​

​

[Explanation]​

1​

Topological space     E, B, F​

Continuous map      : EF​

Homeomorphic with F     -1 (b) , bB     ​

Neighborhood of b     U B   ​

Homeomorphic with U  F     -1 (U)​

Homeomorphic map     h : -1 (U) U  F​

Objection to primary component     p1 :  U  F    U   , h and p1 are fiber bundle in total 

space S, base space B, fiber F and projection .​

​

2​

Topological space     E​

Family that consists of E's open sets     {U }aA​

What E is covered by {Ua}aA is that the next is satisfied.​

E = aAUa​

Open sets family { Ua}aA is called open covering.​

What covering is simply connected in space is called universal covering.​

​

3 ​

Complex manifold     M​

Point of M     Q​

Normal tangent vector space     TQ(M)​

m+n dimensional complex manifold     V​

m dimensional complex manifold      W​

Holomorphic map      : VW​

Map  that satisfies the next is called analytic family of compact complex manifolds.​

(i)  is proper map.​

(ii)  is smooth holomorphic map.​

(iii) For arbitrary point of wW, fiber -1 (w) is always connected.​

When w0W is fixed, Vw, wW is called deformation of Vw0.​

​

4​

Complex manifold     S​

Weight     w​

Deformation of polar Z-Hodge structure     H = (HZ, F, )​

Point     s0 S​

HZ = HZ (s0)​

Fp = Fp(s0)  =  (s0) ​

Polar Z-Hodge structure     (HZ, {Fp},  )​

Period domain that is canonical by (HZ, { Fp},  )     D​

compact relative of D     ​

Bilinear form over HZ, that is determined by    Q​

Monodromy expression of S's fundamental group  (S, s0)        : 1 (S, s0) GZ = 

Aut(HZ, Q) = Im  =   ( 1 (S, s0) ) : S  \ D  is called period map.​

​

5​

Compact manifold     M​

Horizontal tangent bundle     Th​

Regular map      : M  ​

Horizontal     d is map that is from TM to Th()​

Locally liftable      | V : V  D  \ D​

​

6​

Subring of R      A​

H = (HA, F) that satisfies the next is called weight w's A-Hodge structure.​

(i) HA is finite generative A module.​

(ii) For arbitrary p, q, there exists decomposition HC= p+q=wHp,q that satisfies Hp,q = Hp,q .   

Hp,q is complex conjugate for Hp,q .​

​

7​

A-Hodge's deformation over S      H = (HA, F),  H' = (H'A, F)    ​

Morphism of A module's local constant sheaf      fA: HA  H'A​

fo= fAAO :HOH'O that is compatible with filter F is called sheaf from H to H'.​

​

8​

Deformation's morphism of Hodge structure      : HA  HAA (-w)​

sS​

Fiber A(s)= A,s​

Weight     w that gives polar of w's A-Hodge structure at s is called polar of deformation 

of w's A-Hodge structure's deformation.​

Hodge structure that is associated with polar is called polarized VHS.​

​

9​

Open disk D = { z C | |z|<1 }, D* = D\{0}​

Universal covering of D*     Upper half-plane of Poincaré      H​

Covering map     H  z  exp(2z)  D*​

Polarized VHS on D     (H,S) 

Fundamental group     1(D*)   Z​

Generation element of the fundamental group     HC​

Action as monodromy to HC     T​

Period map adjoint with H     p : H  D​

p ( z + 1 ) = Tp(z)​

​

10​

O module of deformation of Hodge structure H     HO​

D* = D\{0}​

Period map     p : D*  \ D​

Limit of p   limz0p(z)​

Universal covering     HD​

​

11​

Period map     ​

Nilpotent orbit    (w) : = exp(wN) (0)​

(Nilpotent orbit theorem)​

(i) Nipotent orbit is horizontable map.​

(ii) If Im w > 0 is enough large, (w) D.​

(iii) If Im w > 0 is enough large, there exists non-negative constant B that satisfies dD(

(w), (w) )(Imw)Be-2Imw . ​

     dD is invariant distance over D.​

​

[Comment]​

When word is expressed by open disk D, word has invariant distance in adequate 

condition(Im w > 0).​

At that time, B is proper number of its word.​

​

[Reference]​

Distance Theory / Tokyo May 5, 2005 / Sekinan Linguistic Field​

​

Tokyo November 30, 2008​

Sekinan Research Field of language​

​

[Reference 2 / December 9, 2008]​

Mirror Theory Group / Tokyo December 9, 2008 / Sekinan Linguistic Field​