Generating Function

 Symplectic Language Theory

 

TANAKA Akio 

     

Note5 

Generating Function​

​

​

[Gromov-Witten invariant]​

3-dimensional Calabi-Yau manifold     X​

Degree of holomorphic map     

​

Riemann surface     C​

Genus of C     g     ​

Moduli space that is derived from regular curve from C to X     

     ​

Virtual fundamental class of 

     

​

​

Gromov-Witten invariant     

​

​

[Generating function of Gromov-Witten invariant]​

generating function      F  ​

F of Gromov-Witten invariant]     FGW​

Representation of FGW​

​

​

Here 

, 

 are variants that are corresponded with holomorphic map and Riemann surface's 

genus of domain in respective generating functions.​

​

[Explanation of generating function]​

n-dimensional manifold     M​

Vector bundle over M, which has order m     V​

Function over V     F   ​

Darboux coordinate of M      

    ​

m-number variant that is coordinate V's fiber direction   λ→  ​

iF(q→, x→)=(q→,δF/δq1 (q→ , λ→), ...,δF/δqn  (q→ , λ→))​

Lagrangian immersion     (LF, iF)​

F is called lagrangian immersion iF's generating function. ​

​

[Impression]​

1​

Word is given by F.​

Meaning minimum is given by iF.​

Meaning unit is given by q→.​

Time unit is given by λ→  .​

2​

Language is given by 3-dimensional Calabi-Yau manifold.​

Language has an universal that is expressed by Gromov-Witten invariant.​

Word is given by generating function of Gromov-Witten invariant.​

3​

Language will also have an universal that is expressed by Donaldson-Thomas invariant.​

4​

Generating function's relationship between Gromov-Witten invariant and Donaldson-Thomas 

invariant is called S-duality that will show us a deeper structure in language.​

 

 

To be continued 

Tokyo March 17, 2009

 

Sekinan Research Field of language