Linguistic Focus 2 Faithfully Flat / August 27, 2007

Linguistic Focus

2

Faithfully Flat  

　　  TANAKA Akio

1

Prime ideal of commutative ring A     Spec A

Homomorphism     f : A → B

Prime ideal    U ⊂ B

Prime ideal of A     f^-1 ( P )

P ∈ Spec B

f^-1 ( P ) ∈ Spec A

Map     ^af : Spec B → Spec A

Commutative ring     A, B

Direct sum     A ⊕ B

Definition     p_i ( (x₁, x₂ ) ) : = x_i

Homomorphism      p₁: A ⊕ B → A       p₂: A ⊕ B → B

P₁ ∈Spec A

^ap₁ ( P₁ ) = P₁ ⊕ B   

P₂ ∈Spec B

^ap₂ ( P₂ ) = P₂ ⊕ A

Image ^ap₁ ∩ Image ^ap₂ = 0

Prime ideal of A ⊕ B     P

( 1, 0 ) ⊂ P    Ideal     J ⊂ B

P = A ⊕ J

J is prime ideal.

( 0, 1 ) ⊂ P is also seen logically.

Spec ( A ⊕ B ) = Image ^ap₁ ∪ Image ^ap₂

Homomorphism of commutative ring     φ: A → B    ψ: A → C

Homomorphism     (φ, ψ) : A →B ⊕ C

^a (φ, ψ) : Spec ( B ⊕ C ) → Spec A

Conclusion    Spec ( A₁, …, A_n ) = ∐_{i = 1} ^{I = n} Spec A_i

2

Injective homomorphism of A module     f : L → M

Homomorphism of A module     f ⊗ 1_N : L ⊗ N → M ⊗ N

Definition     A module N is flat.

3

Homomorphism of commutative ring     φ: A →A’

A module M ≠ 0

M ⊗ A’  ≠ 0

Definition     φ is faithfully flat.

Tokyo August 27, 2007

Sekinan Research Field of Language