Wednesday 5 November 2014

Distance of Word / 30 November 2008

Complex Manifold Deformation Theory
Conjecture A  
1 Distance of Word 
TANAKA Akio 
     
Conjecture 
Word has distance.
[Explanation]
1
Topological space     EB, F
Continuous map      : EF
Homeomorphic with F     -1 (b) , bB     
Neighborhood of b     U B   
Homeomorphic with  F     -1 (U)
Homeomorphic map     h : -1 (U F
Objection to primary component     p1 :   F    U   h and p1 are fiber bundle in total 
space S, base space B, fiber F and projection .
2
Topological space     E
Family that consists of E's open sets     {}aA
What E is covered by {Ua}aA is that the next is satisfied.
E = aAUa
Open sets family { Ua}aA is called open covering.
What covering is simply connected in space is called universal covering.
Complex manifold     M
Point of M     Q
Normal tangent vector space     TQ(M)
m+n dimensional complex manifold     V
m dimensional complex manifold      W
Holomorphic map      : VW
Map  that satisfies the next is called analytic family of compact complex manifolds.
(i)  is proper map.
(ii)  is smooth holomorphic map.
(iii) For arbitrary point of wW, fiber -1 (w) is always connected.
When w0W is fixed, VwwW is called deformation of Vw0.
4
Complex manifold     S
Weight     w
Deformation of polar Z-Hodge structure     H = (HZF)
Point     sS
HZ = HZ (s0)
Fp = Fp(s0 =  (s0
Polar Z-Hodge structure     (HZ, {Fp},  )
Period domain that is canonical by (HZ, { Fp},  )     D
compact relative of D     
Bilinear form over HZ, that is determined by    Q
Monodromy expression of S's fundamental group  (Ss0)        : 1 (Ss0GZ = 
Aut(HZQ) = Im  =   ( 1 (Ss0) ) : S  \ D  is called period map.
5
Compact manifold     M
Horizontal tangent bundle     Th
Regular map      : M  
Horizontal     d is map that is from TM to Th()
Locally liftable      | V : V  D  \ D
6
Subring of R      A
H = (HAF) that satisfies the next is called weight w's A-Hodge structure.
(i) HA is finite generative A module.
(ii) For arbitrary pq, there exists decomposition HCp+q=wHp,q that satisfies Hp,q = Hp,q .   
Hp,q is complex conjugate for Hp,q .
7
A-Hodge's deformation over S      H = (HAF),  H' = (H'AF)    
Morphism of A module's local constant sheaf      fA: H H'A
fofAAO :HOH'O that is compatible with filter F is called sheaf from H to H'.
8
Deformation's morphism of Hodge structure      : H HAA (-w)
sS
Fiber A(s)A,s
Weight     w that gives polar of w's A-Hodge structure at s is called polar of deformation 
of w's A-Hodge structure's deformation.
Hodge structure that is associated with polar is called polarized VHS.
9
Open disk D = { C | |z|<1 }, D* = D\{0}
Universal covering of D*     Upper half-plane of Poincaré      H
Covering map     H   exp(2z D*
Polarized VHS on D     (H,S) 
Fundamental group     1(D*)   Z
Generation element of the fundamental group     HC
Action as monodromy to HC     T
Period map adjoint with H     p :  D
p ( z + 1 ) = Tp(z)
10
O module of deformation of Hodge structure H     HO
D* = D\{0}
Period map     p : D \ D
Limit of p   limz0p(z)
Universal covering     HD
11
Period map     
Nilpotent orbit    (w) : = exp(wN) (0)
(Nilpotent orbit theorem)
(i) Nipotent orbit is horizontable map.
(ii) If Im w > 0 is enough large, (wD.
(iii) If Im w > 0 is enough large, there exists non-negative constant B that satisfies dD(
(w), (w) )(Imw)Be-2Imw . 
     dD is invariant distance over D.
[Comment]
When word is expressed by open disk D, word has invariant distance in adequate 
condition(Im w > 0).
At that time, B is proper number of its word.
[Reference]
Distance Theory / Tokyo May 5, 2005 / Sekinan Linguistic Field
Tokyo November 30, 2008
Sekinan Research Field of language
[Reference 2 / December 9, 2008]
Mirror Theory Group / Tokyo December 9, 2008 / Sekinan Linguistic Field

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